Globe Views
500 things that everyone should know ...
Home | About Us

Hvordan å beregne planetenes posisjoner

Paul Schlyter, Stockholm, Sverige e-post: pausch@stjarnhimlen.se eller WWW: http://stjarnhimlen.se/ 0. Forord Nedenfor er en beskrivelse av hvordan du skal beregne stillingene for solen og månen og de store planetene, samt for kometer og mindre planeter, fra et sett med baneelementene. Algoritmene har blitt forenklet så mye som mulig mens du fremdeles holder en ganske god nøyaktighet. Nøyaktigheten av de beregnede posisjonene er en brøkdel av en bue minutt for solen og de indre planetene, om en bue minutt for de ytre planetene, og 1-2 bueminutter for månen. Hvis vi begrenser vår nøyaktighet krever til dette nivået, kan man forenkle ytterligere ved f.eks ignorerer forskjellen mellom gjennomsnittlig, sanne og tydelig posisjon. Stillingene beregnet nedenfor er for 'jevndøgn av dagen ", som er egnet for beregning av stige / sett ganger, men ikke for plotting posisjonen på en stjerne kart tegnet for en fast epoke. I sistnevnte tilfelle, må korreksjon for presesjon påføres, som er mest enkelt utføres som en rotasjon langs ekliptikken. Disse algortihms ble utviklet av meg selv tilbake i 1979, basert på en preprint fra T. van Flandern-og K. Pulkkinen papir-"Low presisjon formler for planetenes posisjoner", publisert i Astrophysical Journal Supplement Series, 1980. Det er i utgangspunktet en forenkling av disse algoritmene, mens du holder en rimelig nøyaktighet. De ble først implementert på en HP-41C programmerbar lommekalkulator, i 1979, og kjørte på mindre enn 2 KBytes RAM! Dag betydelige mer nøyaktige algoritmer er tilgjengelige selvfølgelig, samt mer kraftige datamaskiner. Likevel har jeg beholdt disse algoritmene som det jeg tror er den enkleste måten å beregne solceller / lunar posisjoner med en nøyaktighet på 1-2 bueminutter. 1. Innledning Teksten nedenfor beskriver hvordan du beregne posisjonene på himmelen av Solen, månen og de store planetene ut til Neptun. Algoritmen for Pluto er hentet fra en Fourier passer til Pluto posisjon som beregnet ved numerisk integrasjon ved JPL. Posisjoner av andre himmellegemer i tillegg (dvs. kometer og asteroider) kan også beregnes, hvis deres baneelementene er tilgjengelig. Disse formlene kan virke komplisert, men jeg tror dette er den enkleste metoden for å beregne planetenes posisjoner med ganske god nøyaktighet på ca en bue minutt (= 1/60 grader). Eventuelle ytterligere forenklinger vil gi lavere nøyaktighet, men selvfølgelig det kan være ok, avhengig av programmet. 2. Noen ord om nøyaktighet De krav til nøyaktighet er beskjeden: en sluttstilling med en feil på ikke mer enn 1-2 bueminutter (en arc minutt = 1/60 grader). Denne nøyaktigheten er i ett forhold ganske optimal: det er den høyeste nøyaktighet man kan strebe etter, samtidig være i stand til å gjøre mange forenklinger. Forenklingene gjort her er: 1: Nutation og avvik er begge ignorert. 2: Planetary aberrasjon (dvs. lys reisetid) blir ignorert. 3: Forskjellen mellom bakkebundet Tid / Ephemeris Time (TT / ET), og Universal Time (UT) blir ignorert. 4: Presesjon beregnes på en forenklet måte, etter et enkelt tillegg til ekliptikken lengdegrad. 5: Høyere ordens betingelser i de planetariske baneelementene ignoreres. Dette vil gi en ekstra feil på opp til 2 lysbuen min i 1000 år fra nå. For månen, vil feilen bli større: 7 arc min 1000 år fra nå. Denne feilen vil vokse som kvadratet av tiden fra i dag. 6: Mest planetariske forstyrrelser ignoreres. Bare de store forstyrrelsene vilkårene for månen, Jupiter, Saturn, og Uranus, er inkludert. Hvis fortsatt lavere nøyaktighet er akseptabelt, kan disse forstyrrelsene bli ignorert i tillegg. 7: Den største Uranus-Neptun perturbasjon er redegjort for i baneelementene til disse planetene. Derfor baneelementene til Uranus og Neptun er mindre accurace, spesielt i en fjern fortid og fremtid. Elementene for disse planetene bør derfor bare brukes til mer enn noen få hundre til fortiden og fremtiden. 3. Tidsskalaen Tidsskalaen i disse formlene telles i dager. Timer, minutter, sekunder er uttrykt som en brøk av en dag. Dag 0,0 oppstår ved 2000 Jan 0,0 UT (eller 1999 des 31, 00:00 UT). Denne "dag nummer" d beregnes som følger (y = år, M = måned, D = dato, UT = UT i timer desimaler): d = 367 * y - 7 * (y (m 9) / 12) / 4 275 * m / 9 D - 730530 Vær oppmerksom på at alle divisjoner her bør være INTEGER divisjoner. I Pascal, bruk "div" i stedet for "/", i MS-Basic, bruk "\" i stedet for "/". I Fortran, C og C "/" kan brukes hvis både y og m er heltall. Endelig omfatter tidspunktet på dagen, ved å legge: d = d UT/24.0 (dette er et flyttall divisjon) 4. Baneelementene Den primære baneelementene er her betegnet som: N = lengdegrad for oppstigende knute i = tilbøyelighet til ekliptikken (plan jordas bane) w = argument for perihel a = semi-hovedakse, eller mener avstand fra Solen e = eksentrisiteten (0 = sirkel, 0-1 = ellipse, en = parabelen) M = gjennomsnittlig anomali (0 på perihel; øker jevnt med tid) Relaterte baneelementene er: w1 = N w = lengde av perihel L = M w1 = gjennomsnittlig lengde q = a * (1-e) = perihelion avstand Q = a * (1 e) = aphel avstand P = a ^ 1,5 = omløpstid (år hvis en er i AU, astronomiske enheter) T = Epoch_of_M - (M (grader) / 360_deg) / P = tid perihel v = true anomali (vinkel mellom posisjon og perihelion) E = eksentriske anomali En astronomisk enhet (AU) er jordens midlere avstand til Solen, eller 149 600 000 km. Når nærmest Solen, er en planet i perihel, og når lengst borte fra solen det er i aphel. For månen, en kunstig satellitt, eller et annet organ i bane rundt jorden, sier en perigee og apogee stedet for punktene i bane minste og mest fjernt fra jorden. Å beskrive posisjon i bane, bruker vi tre vinkler: Mean Anomaly, True Anomaly, og Eccentric Anomaly. De er alle null når planeten er i perihel: Mean Anomaly (M): Denne vinkelen øker jevnt over tid, ved 360 grader per omløpstid. Det er null ved perihel. Det er lett beregnet fra omløpstiden og tiden siden forrige perihelion. Sann anomali (v): Dette er den faktiske vinkel mellom planeten og perihel sett fra den sentrale legeme (i dette tilfellet solen). Det øker ikke jevnt med tid, endre raskest på perihel. Eksentriske Anomaly (E): Dette er en ekstra vinkel som brukes i Keplers ligning, ved beregning av True Anomaly fra Mean Anomaly og orbital eksentrisitet. Merk at for en sirkulær bane (eksentrisitet = 0), er disse tre vinkler er alle lik hverandre. En annen mengde vi trenger er ECL, den skjevheter i ekliptikken, dvs. "tilt" av jordas rotasjonsakse (for tiden 23,4 grader og sakte synkende). Først beregne "d" for øyeblikket av interesse (§ 3). Deretter beregne skjevheter av ekliptikken: ECL = 23,4393 - 3.563E-7 * d Nå beregne baneelementene av planeten av interesse. Hvis du vil at plasseringen av solen eller månen, trenger du bare å beregne baneelementer for solen eller månen. Hvis du vil at plasseringen av noen annen planet, må du beregne baneelementer for at planeten og for Sun (selvfølgelig baneelementer for solen er virkelig de baneelementer for Jorden, men det er vanlig å her late som solen går i bane rundt Jorden). Dette er nødvendig for å kunne beregne geosentriske posisjon planeten. Vær oppmerksom på at den semi-hovedakse, er gitt i Earth radier for the Moon, men i astronomiske enheter for solen og alle planetene. Når databehandling M (og for månen, da databehandling N og w i tillegg), vil man ganske ofte får et resultat som er større enn 360 grader, eller negative (alle vinkler er her beregnet i grader). Hvis negative, legger 360 grader til positive. Hvis større enn 360 grader, trekker 360 grader inntil verdien er mindre enn 360 grader. Vær oppmerksom på at i de fleste programmeringsspråk, må man deretter multiplisere disse vinkler med pi/180 å konvertere dem til radianer, før du tar sinus eller cosinus av dem. Baneelementene of the Sun:
 N = 0.0
    i = 0.0
    w = 282.9404 + 4.70935E-5 * d
    a = 1.000000  (AU)
    e = 0.016709 - 1.151E-9 * d
    M = 356.0470 + 0.9856002585 * d
Baneelementene of the Moon:
    N = 125.1228 - 0.0529538083 * d
    i = 5.1454
    w = 318.0634 + 0.1643573223 * d
    a = 60.2666  (Earth radii)
    e = 0.054900
    M = 115.3654 + 13.0649929509 * d
Baneelementene Mercury:
    N =  48.3313 + 3.24587E-5 * d
    i = 7.0047 + 5.00E-8 * d
    w =  29.1241 + 1.01444E-5 * d
    a = 0.387098  (AU)
    e = 0.205635 + 5.59E-10 * d
    M = 168.6562 + 4.0923344368 * d
Baneelementene Venus:
    N =  76.6799 + 2.46590E-5 * d
    i = 3.3946 + 2.75E-8 * d
    w =  54.8910 + 1.38374E-5 * d
    a = 0.723330  (AU)
    e = 0.006773 - 1.302E-9 * d
    M =  48.0052 + 1.6021302244 * d
Baneelementene Mars:
    N =  49.5574 + 2.11081E-5 * d
    i = 1.8497 - 1.78E-8 * d
    w = 286.5016 + 2.92961E-5 * d
    a = 1.523688  (AU)
    e = 0.093405 + 2.516E-9 * d
    M =  18.6021 + 0.5240207766 * d
Baneelementene Jupiter:
    N = 100.4542 + 2.76854E-5 * d
    i = 1.3030 - 1.557E-7 * d
    w = 273.8777 + 1.64505E-5 * d
    a = 5.20256  (AU)
    e = 0.048498 + 4.469E-9 * d
    M =  19.8950 + 0.0830853001 * d
Baneelementene Saturn:
    N = 113.6634 + 2.38980E-5 * d
    i = 2.4886 - 1.081E-7 * d
    w = 339.3939 + 2.97661E-5 * d
    a = 9.55475  (AU)
    e = 0.055546 - 9.499E-9 * d
    M = 316.9670 + 0.0334442282 * d
Baneelementene Uranus:
    N =  74.0005 + 1.3978E-5 * d
    i = 0.7733 + 1.9E-8 * d
    w =  96.6612 + 3.0565E-5 * d
    a = 19.18171 - 1.55E-8 * d  (AU)
    e = 0.047318 + 7.45E-9 * d
    M = 142.5905 + 0.011725806 * d
Baneelementene Neptune:
    N = 131.7806 + 3.0173E-5 * d
    i = 1.7700 - 2.55E-7 * d
    w = 272.8461 - 6.027E-6 * d
    a = 30.05826 + 3.313E-8 * d  (AU)
    e = 0.008606 + 2.15E-9 * d
    M = 260.2471 + 0.005995147 * d
Vær oppmerksom enn baneelementene Uranus og Neptun som gis her er noe mindre nøyaktige. De omfatter en lang periode perturbasjon mellom Uranus og Neptun. Perioden av forstyrrelse er ca 4200 år. Derfor bør disse elementene ikke forventes å gi resultater innenfor den angitte nøyaktighet for mer enn noen få århundrer i fortiden og i fremtiden.
5. Stillingen of the Sun Posisjonen til søn beregnes akkurat som plasseringen av noen annen planet, men siden Solen alltid beveger seg i ekliptikken, og siden eksentrisiteten for bane er ganske liten, kan noen forenklinger gjøres. Derfor, er en separat presentasjonen for Sun gitt. Selvfølgelig er vi her virkelig beregner posisjonen til Jorden i sin bane rundt sola, men siden vi ser på himmelen fra en Earth-sentrert perspektiv, vil vi late som Solen er i bane rundt jorden i stedet . Først, beregn eksentriske anomali E fra den midlere anomali M og fra eksentrisiteten e (E og M i grader):
  E = M + e*(180/pi) * sin(M) * ( 1.0 + e * cos(M) )
eller (dersom E og M er uttrykt i radianer):
    E = M + e * sin(M) * ( 1.0 + e * cos(M) )
Legg merke til at formlene for beregning E er ikke eksakt, men de er nøyaktig nok her. Deretter beregne Suns avstand r og dets sanne anomali v fra:
    xv = r * cos(v) = cos(E) - e
    yv = r * sin(v) = sqrt(1.0 - e*e) * sin(E)

    v = atan2( yv, xv )
    r = sqrt( xv*xv + yv*yv )
(merk at r beregnet her er senere brukt som rs) ARCTAN2 () er en funksjon som konverterer en x, y koordinere par til riktig vinkel i alle fire kvadranter. Den er tilgjengelig som et bibliotek funksjon i Fortran, C og C + +. På andre språk, må man skrive en egen ARCTAN2 ()-funksjonen. Det er ikke så vanskelig:
    atan2( y, x ) = atan(y/x)                 if x positive
    atan2( y, x ) = atan(y/x) +- 180 degrees  if x negative
    atan2( y, x ) = sign(y) * 90 degrees      if x zero
Se disse linkene for noen kode i Basic eller Pascal. Fortran og C / C + + allerede har ARCTAN2 () som en standard bibliotek funksjon. Nå beregne Suns sanne lengdegrad:
    lonsun = v + w
Konverter lonsun, r til ekliptikken rektangulære geosentriske koordinater xs, ys:
    xs = r * cos(lonsun)
    ys = r * sin(lonsun)
(siden Solen alltid er i ekliptikken flyet, er ZS selvfølgelig null). xs, ys er solens posisjon i et koordinatsystem i ekliptikken. Å konvertere dette til ekvator, rektangulær, geosentrisk koordinater, beregne:
    xe = xs
    ye = ys * cos(ecl)
    ze = ys * sin(ecl)
Til slutt beregne solens Rektascensjon (RA) og deklinasjon (Dec):
    RA  = atan2( ye, xe )
    Dec = atan2( ze, sqrt(xe*xe+ye*ye) )
5b. Siderisk tid Ganske ofte vi trenger en mengde kalt Siderisk Time. The Local Sideral Time (LST) er rett og slett RA på ditt lokale meridian. Greenwich Mean Sideral Time (GMST) er LST ved Greenwich. Og til slutt, Greenwich Mean Siderisk tid på 0h UT (GMST0) er, som navnet sier, GMST på Greenwich Midnight. Imidlertid vil vi her utvide begrepet GMST0 litt, ved å la "vår" GMST0 være den samme som den konvensjonelle GMST0 ved UT midnatt, men også la GMST0 defineres på noe annet tidspunkt slik at GMST0 vil øke med 3m51s hver 24 time. Da denne formelen vil være gyldig til enhver tid: GMST = GMST0 UT Vi trenger også Suns midlere lengde, Ls, som kan beregnes fra Solens v og w som følger: Ls = v w Den GMST0 beregnes lett fra Ls (dividere med 15 hvis du vil ha GMST0 i timer heller enn grader), er GMST deretter beregnes ved å legge UT, og til slutt LST beregnes ved å legge din lokale lengdegrad (østlig lengde er positiv, vest negative ). Merk at "tid" er gitt i timer mens "vinkel" er gitt i grader. De to er knyttet til hverandre på grunn av jordens rotasjon: en time er her det samme som 15 grader. Før du legger til eller trekke en "time" og en "vinkel", sørg for å konvertere dem til samme enhet, f.eks grader ved å multiplisere med 15 før du legger / trekke: GMST0 = Ls 180_degrees GMST = GMST0 UT LST = GMST local_longitude Formlene ovenfor er skrevet som om tider er uttrykt i grader. Dersom vi i stedet antar tider er oppgitt i timer og vinkler i grader, og hvis vi eksplisitt skrive ut omregningsfaktor på 15, får vi: GMST0 = 15 * (LS 180_degrees) GMST = GMST0 UT LST = GMST local_longitude/15 6. Plasseringen av månen og av planetene Først, beregn eksentriske anomali, E, fra M, den midlere anomali, og e, eksentrisiteten. Som en første tilnærming, gjøre (E og M i grader): E = M e * (180/pi) * sin (M) * (1,0 e * cos (M)) eller, dersom E og M er i radianer: E = M e * sin (M) * (1,0 e * cos (M)) Hvis e, eksentrisiteten, er mindre enn ca 0,05 til 0,06, er denne tilnærming tilstrekkelig nøyaktige. Hvis eksentrisiteten er større, sett E0 = E og deretter bruke denne iterasjon formelen (E og M i grader): E1 = E0 - (E0 - e * (180/pi) * sin (E0) - M) / (1 - e * cos (E0)) eller (E og M i radianer): E1 = E0 - (E0 - e * sin (E0) - M) / (1 - e * cos (E0)) For hver ny iterasjon, erstatte E0 med E1. Iterate til E0 og E1 er tilstrekkelig tett sammen (ca 0.001 grader). For komet baner med eccentricites nær én, en forskjell på mindre enn 1E-4 eller 1E-5 grader bør kreves. Hvis denne iterasjon formelen ikke vil blandes sammen, er eksentrisiteten sannsynligvis for nær en. Da bør du i stedet bruke formler for nær-parabolske eller parabolske baner. Nå beregne planetens avstand og sann anomali: xv = r * cos (v) = a * (cos (E) - e) yv = r * sin (v) = a * (sqrt (1,0 - e * e) * sin (E)) v = ARCTAN2 (yv, xv) r = sqrt (xv * xv yv * yv) 7. Den posisjon i rommet Beregn planetens posisjon i 3-dimensjonale rommet: XH = r * (cos (n) * cos (vw) - sin (N) * sin (vw) * cos (i)) YH = r * (sin (N) * cos (vw) cos (n) * sin (vw) * cos (i)) zh = r * (sin (v w) * sin (i)) For månen, er dette den geosentriske (Earth-sentrert) posisjon i ekliptikken koordinatsystem. For planetene, er dette heliosentrisk (Sun-sentrert) posisjon, også i ekliptikken koordinatsystem. Hvis man ønsker, kan man beregne ekliptikken lengde-og breddegrad (dette må gjøres hvis man ønsker å korrigere for forstyrrelser, eller hvis man ønsker å precess posisjonen til en standard epoke): lonecl = ARCTAN2 (yh, xh) latecl = ARCTAN2 (zh, sqrt (xh * xh yh * yh)) Som en sjekk kan man beregne sqrt (xh * xh yh * yh zh * zh), som selvfølgelig skal være lik r (unntatt for små avrundingsfeil). 8. Presesjon Hvis man ønsker å beregne planetens posisjon for noen standard epoke, for eksempel 1950,0 eller 2000,0 (f.eks å kunne plotte posisjonen på en stjerne atlas), må man legge til korreksjon nedenfor for å lonecl. Hvis en planet og ikke månens posisjon beregnes, må man også legge til samme korreksjon til lonsun, Solens lengdegrad. Ønsket Epoch er uttrykt som året, muligens med en brøk. lon_corr = 3.82394E-5 * (365.2422 * (Epoch - 2000,0) - d) Hvis man ønsker posisjonen for dagens epoken (nyttig når computing stigende / innstilling tider og lignende), ingen rettelser må gjøres. 9. Forstyrrelser of the Moon Hvis plasseringen av månen elektronisk og en ønsker en bedre nøyaktighet enn ca 2 grader, har de viktigste perturbasjoner tas i betraktning. Hvis man ønsker to arc minutt nøyaktighet, bør alle følgende vilkår skal regnskapsføres. Hvis mindre nøyaktighet er nødvendig, kan noen av de mindre betingelsene utelates. Først beregne: Ms, Mm Mean Anomaly av solen og månen Nm lengdegrad av Månens node ws, wm Argument av perihel for solen og månen Ls = Ms + ws Mean lengdegrad of the Sun (Ns = 0) Lm = mm + wm + Nm Mean lengdegrad of the Moon D = Lm - Ls Mean forlengelse av månen F = Lm - Nm Argument av breddegrad for the Moon Legg til disse vilkårene til Månen bredde (grader):
    -1.274 * sin(Mm - 2*D)          (the Evection)
    +0.658 * sin(2*D)               (the Variation)
    -0.186 * sin(Ms)                (the Yearly Equation)
    -0.059 * sin(2*Mm - 2*D)
    -0.057 * sin(Mm - 2*D + Ms)
    +0.053 * sin(Mm + 2*D)
    +0.046 * sin(2*D - Ms)
    +0.041 * sin(Mm - Ms)
    -0.035 * sin(D)                 (the Parallactic Equation)
    -0.031 * sin(Mm + Ms)
    -0.015 * sin(2*F - 2*D)
    +0.011 * sin(Mm - 4*D)
Legg til disse vilkårene til Månen breddegrad (grader):
    -0.173 * sin(F - 2*D)
    -0.055 * sin(Mm - F - 2*D)
    -0.046 * sin(Mm + F - 2*D)
    +0.033 * sin(F + 2*D)
    +0.017 * sin(2*Mm + F)
Legg til disse vilkår til månens avstand (Earth radier):
    -0.58 * cos(Mm - 2*D)
    -0.46 * cos(2*D)
Alle forstyrrelsene vilkår som er mindre enn 0,01 grader i lengde eller bredde og mindre enn 0,1 Earth radier i avstand er utelatt her. Noen av de største forstyrrelsene vilkår selv har sine egne navn! Den Evection (den største forstyrrelse) ble oppdaget allerede av Ptolemaios et par tusen år siden (det Evection var en av Ptolemaios 'epicycles). Variasjon og den årlige ligning ble begge oppdaget av Tycho Brahe i 16'th-tallet. Beregningene kan forenkles ved å utelate de mindre forstyrrelsene vilkår. Feilen som innføres ved dette overstiger sjelden summen av amplitudene av de 4-5 største utelatte vilkår. Hvis man bare beregner de tre største forstyrrelsene vilkår i lengde og den største langsiktige i breddegrad, vil feilen i lengdegrad rarley overstige 0,25 grader, og i breddegrad 0,15 grader. 10. Forstyrrelser av Jupiter, Saturn og Uranus De eneste planeter som har forstyrrelser større enn 0,01 grader er Jupiter, Saturn og Uranus. Først beregne: Mj Mean anomali av Jupiter Ms Gjennomsnittlig anomali av Saturn Mu Mean anomali av Uranus (nødvendig for Uranus bare) Perturbasjoner for Jupiter. Legg til disse vilkårene til lengdegrad: -0.332 * Sin (2 * Mj - 5 * MS - 67,6 grader) -0.056 * Sin (2 * Mj - 2 * MS 21 grader) 0.042 * sin (3 * Mj - 5 * MS 21 grader) -0.036 * Sin (Mj - 2 * Ms) 0.022 * cos (Mj - Ms) 0.023 * sin (2 * Mj - 3 * MS 52 grader) -0.016 * Sin (Mj - 5 * Ms - 69 grader) Perturbasjoner for Saturn. Legg til disse vilkårene til lengdegrad: 0.812 * sin (2 * Mj - 5 * MS - 67,6 grader) -0.229 * Cos (2 * Mj - 4 * MS - 2 grader) 0.119 * sin (Mj - 2 * Ms - 3 grader) 0.046 * sin (2 * Mj - 6 * MS - 69 grader) 0.014 * sin (Mj - 3 * Ms 32 grader) For Saturn: også legge til disse vilkårene til breddegrad: -0.020 * Cos (2 * Mj - 4 * MS - 2 grader) 0.018 * sin (2 * Mj - 6 * MS - 49 grader) Perturbasjoner for Uranus: Legg disse vilkårene til lengdegraden: 0.040 * sin (Ms - 2 * Mu 6 grader) 0.035 * sin (Ms - 3 * Mu 33 grader) -0.015 * Sin (Mj - Mu 20 grader) Den "store Jupiter-Saturn sikt" er den største forstyrrelse for både Jupiter og Saturn. Perioden er 918 år, og amplitude er 0.332 grader for Jupiter og 0.812 grader for Saturn. Disse er også en "stor Saturn-Uranus begrepet", perioden 560 år, 0.035 amplitude grader for Uranus, mindre enn 0,01 grader for Saturn (og derfor utelatt). De andre forstyrrelser har perioder mellom 14 og 100 år. En bør også nevne "stor Uranus-Neptune sikt", som har en periode på 4220 år og en amplitude på ca en grad. Det er ikke inkludert her, i stedet det er inkludert i baneelementene Uranus og Neptun. For Merkur, Venus og Mars kan vi ignorere alle forstyrrelsene. For Neptune den eneste betydelige forstyrrelse er allerede inkludert i baneelementene, som nevnt ovenfor, og derfor ingen ytterligere forstyrrelsene vilkår må gjøres rede for. 11. Geosentrisk (Earth-sentrert) koordinater Nå har vi beregnet den heliosentriske (søn-sentrert) koordinere av planeten, og vi har tatt de viktigste forstyrrelsene. Vi ønsker å beregne geosentrisk (Earth-centerd) posisjon. Vi bør konvertere perturbed lonecl, latecl, r til (perturbed) xh, yh, zh: xh = r * cos (lonecl) * cos (latecl) yh = r * sin (lonecl) * cos (latecl) zh = r * sin (latecl) Hvis vi beregne månens posisjon, er dette allerede den geosentriske posisjon, og dermed har vi bare sette xg = xh, yg = yh, zg = zh. Ellers må vi også beregne Suns posisjon: konvertere lonsun, rs (der rs er r beregnet her) for å xs, ys: xs = rs * cos (lonsun) ys = rs * sin (lonsun) (Selvfølgelig bør enhver korreksjon for presesjon legges til lonecl og lonsun før konvertering til xh, yh, zh og xs, ys). Nå konvertere fra heliosentrisk til geosentriske posisjon: xg = xh xs yg = yh ys ZG = zh Vi har nå planetens geosentrisk (Earth sentrert) posisjon i rektangulære, ekliptikken koordinater. 12. ekvatoriale koordinatene La oss konvertere våre rektangulære, ekliptikken koordinater til rektangulære, Ekvatorial koordinater: å rotere yz-planet ved ECL, vinkelen på skjevheter av ekliptikken: xe = xg ye = yg * cos (ECL) - ZG * sin (ECL) ze = yg * sin (ECL) zg * cos (ECL) Til slutt beregne planetens Rektascensjon (RA) og deklinasjon (Dec): RA = ARCTAN2 (ye, xe) Fellinger = ARCTAN2 (ze, sqrt (xe * xe dere * dere)) Beregn geosentriske avstand: rg = sqrt (xg * xg yg * yg zg * zg) = sqrt (xe * xe dere * dere ze * ze) Thie kompletterer vårt beregning av ekvator koordinater. 12b. asimumtale koordinater For å finne de asimutale koordinater (azimuth og høyde) vi fortsette ved å beregne HA (Hour Angle) av objektet. Men først må vi beregne LST (Lokal Siderisk Time), som vi gjør som beskrevet i 5b ovenfor. Når vi vet LST, kan vi lett beregne HA fra: HA = LST - RA HA er vanligvis gitt i intervallet -12 til +12 timer, eller -180 til 180 grader. Hvis HA er null, kan objektet sees direkte mot sør. Hvis HA er negativ, er objektet til øst for sør, og hvis HA er positiv, er objektet til vest for sør. HVIS din beregnede HA skulle falle utenfor dette intervallet, legge til eller trekke fra 24 timer (eller 360 grader) til HA faller innenfor dette intervallet. Nå er det på tide å konvertere vår objekter HA og Decl til lokal azimuth og høyde. For å gjøre det, må vi også vite lat, vår lokale breddegrad. Da vi fortsette som følger: x = cos (HA) * cos (Decl) y = sin (HA) * cos (Decl) z = sin (Decl) xhor = x * sin (lat) - z * cos (lat) yhor = y zhor = x * cos (lat) + z * sin (lat) az = ARCTAN2 (yhor, xhor) + 180_degrees alt = Asin (zhor) = ARCTAN2 (zhor, sqrt (xhor * xhor + yhor * yhor)) Dette fullfører vår beregning av den lokale asimut og høyde. Vær oppmerksom på at azimuth er 0 ved North, 90 grader på East, 180 grader på Sør-og 270 grader på West. Høyde er selvfølgelig 0 på (matematiske) horisonten, 90 grader på senit, og negative under horisonten. 13. Månens topocentric stilling Måneposisjonen, beregnet tidligere, er geosentrisk, dvs. som sett av en imaginær observatør ved jordens indre. Ekte observatører bor på jordoverflaten, skjønt, og de vil se en annen stilling - topocentric posisjon. Denne posisjonen kan variere med mer enn én grad fra den geosentriske posisjon. Å beregne topocentric posisjoner, må vi legge til en korreksjon til geosentriske posisjon. La oss begynne med å beregne månens parallakse, dvs. den tilsynelatende størrelsen på (ved ekvator) radius av jorden, sett fra månen: mpar = Asin (1 / r) der r er månens avstand i Earth radier. Det er enklest å anvende korreksjonen i horisontale koordinater (azimut og høyde): innenfor vår nøyaktigheten mål 1-2 bueminutter, ingen korreksjon må brukes til asimut. Man trenger bare bruke en korreksjon til høyde over horisonten: alt_topoc = alt_geoc - mpar * cos (alt_geoc) Noen ganger trenger man å korrigere for topocentric posisjon direkte i ekvatoriale koordinatene skjønt, f.eks hvis man ønsker å trekke på et stjernekart hvordan Månen passerer foran Pleiadene, sett fra noen bestemt sted. Så vi trenger å vite månens geosentrisk Rektascensjon og Misvisning (RA, Decl), den lokale Siderisk Time (LST), og vår breddegrad (lat). Vår astronomiske breddegrad (lat) må først konverteres til et geosentrisk breddegrad (gclat), og avstanden fra sentrum av jorden (rho) i Earth ekvator radier. Hvis vi bare vil ha en omtrentlig topocentric posisjon, er det enkleste å late som at jorda er en perfekt kule, og bare satt: gclat = lat, rho = 1,0 Men hvis vi ønsker å stå for den utflating av jorden, vi i stedet beregne: gclat = lat - 0.1924_deg * sin (2 * lat) rho = 0,99833 + 0,00167 * cos (2 * lat) Neste vi beregne månens geosentriske Hour Angle (HA) fra månens geosentrisk RA. Først må vi beregne LST som beskrevet i 5b ovenfor, vil vi beregne HA som: HA = LST - RA Vi trenger også en ekstra vinkel, g: g = ARCTAN (tan (gclat) / cos (HA)) Nå er vi klare til å konvertere geosentrisk Høyre Ascention og Misvisning (RA, Decl) til sine topocentric verdier (topRA, topDecl): topRA = RA - mpar * rho * cos (gclat) * sin (HA) / cos (Decl) topDecl = Decl - mpar * rho * sin (gclat) * sin (g - Decl) / sin (g) (Merk at hvis decl er nøyaktig 90 grader, cos (Decl) blir null, og vi får en divisjon med null når computing topRA, men den formelen bryter ned bare svært nær de himmelske polene allikevel, og vi aldri se månen der. Også hvis gclat er nettopp null, blir g null også, og vi får en divisjon med null når computing topDecl. I så fall erstatte formelen for topDecl med topDecl = Decl - mpar * rho * sin (-Decl) * cos (HA) som er gyldig for gclat lik null, det kan også bli brukt til gclat svært nær null). Denne korreksjonen til topocentric posisjon kan også brukes til Solen og planetene. Men siden de er mye lenger unna, blir korreksjon mye mindre. Det er størst for Venus på dårligere sammen, når Venus 'parallax er noe større enn 32 buesekunder. Innenfor vårt mål om å oppnå en endelig nøyaktighet på 1-2 bueminutter, kan det knapt være berettiget å rette til topocentric posisjon når Venus er nær dårligere sammen, og kanskje også når Mars er på et gunstig opposisjon. Men i alle andre tilfeller denne korreksjonen kan trygt ignoreres i vår nøyaktighet mål. Vi trenger bare å bekymre seg om månen i dette tilfellet. Hvis du ønsker å beregne topocentric koordinater for planetene også, gjør du det på samme måte som for månen, med ett unntak: Månens parallakse erstattes av parallakse planeten (PPAR), beregnet fra denne formelen: PPAR = (8.794/3600) _deg / r der r er avstanden til planeten fra Jorden, i astronomiske enheter. 14. Posisjonen til Pluto Ingen analytisk teori noensinne har blitt bygget for planeten Pluto. Vår mest nøyaktig gjengivelse av bevegelse av denne planeten er fra numeriske integrasjoner. Ennå, en "kurve fit" kan utføres for å disse numeriske integrasjoner, og resultatet vil være formlene nedenfor, gyldige fra ca 1800 til ca 2100. Compute d, vår dag nummer, som vanlig (§ 3). Deretter beregne disse vinkler: S = 50,03 + 0.033459652 * d P = 238,95 + 0.003968789 * d Neste beregne heliosentrisk ekliptikken lengde-og breddegrad (grader), og avstand (au): lonecl = 238.9508 + 0.00400703 * d - 19.799 * sin (P) + 19.848 * cos (P) + 0.897 * sin (2 * P) - 4.956 * cos (2 * P) + 0.610 * sin (3 * P) + 1.211 * cos (3 * P) - 0.341 * sin (4 * P) - 0.190 * cos (4 * P) + 0.128 * sin (5 * P) - 0.034 * cos (5 * P) - 0.038 * sin (6 * P) + 0.031 * cos (6 * P) + 0,020 * sin (S-P) - 0,010 * cos (S-P) latecl = -3,9082 - 5.453 * sin (P) - 14,975 * cos (P) + 3.527 * sin (2 * P) + 1.673 * cos (2 * P) - 1.051 * sin (3 * P) + 0.328 * cos (3 * P) + 0.179 * sin (4 * P) - 0.292 * cos (4 * P) + 0.019 * sin (5 * P) + 0.100 * cos (5 * P) - 0.031 * sin (6 * P) - 0.026 * cos (6 * P) + 0,011 * cos (S-P) r = 40,72 + 6,68 * sin (P) + 6,90 * cos (P) - 1,18 * sin (2 * P) - 0,03 * cos (2 * P) + 0,15 * sin (3 * P) - 0,14 * cos (3 * P) Nå vet vi det heliosentriske avstand og ekliptikken lengde / breddegrad for Pluto. Å konvertere til geosentriske koordinater, som gjør for de andre planetene. 15. Forlengelsen og fysiske efemeridene av planetene Når vi endelig har fullført vår beregning av den heliosentriske og geosentriske koordinater planetene, kan det også være interessant å vite hva planeten vil se ut. Hvor stor vil det vises? Hva er dens fase og omfanget (lysstyrke)? Disse beregninger er mye enklere enn de beregninger av stillingene. La oss begynne med å beregne den tilsynelatende diameter på planeten: d = d0 / R R er planetens geosentriske avstand i astronomiske enheter, og d er den planeten tilsynelatende diameter på en avstand av 1 astronomisk enhet. d0 er selvfølgelig forskjellig for hver planet. Verdiene nedenfor er gitt i sekunder av bue. Noen planeter har forskjellige Ekvatorial-og polardiametrene: Mercury 6,74 " Venus 16.92 " Earth 17.59 "EQU 17.53" pol Mars 9.36 "EQU 9,28" pol Jupiter 196,94 "EQU 185,08" pol Saturn 165,6 "equ 150,8" pol Uranus 65,8 "equ 62,1" pol Neptune 62,2 "equ 60,9" pol Solens synlige diameter på 1 astronomisk enhet er 1919,26 "The Moon tilsynelatende diameter er.: d = 1873,7 "* 60 / r der r er månens avstand i Earth radier. To andre mengder vi ønsker å vite er fase vinkel og tøyelighet. Fasevinkelen forteller oss den fasen: hvis det er null planeten vises "full", hvis det er 90 grader det ser "halv", og hvis det er 180 grader det ser "ny". Bare månen og Nedre planeter (dvs. Merkur og Venus) kan ha fasevinkler overstiger ca 50 grader. Forlengelsen er den tilsynelatende vinkelavstand på planeten fra sola. Hvis forlengelsen er mindre enn ca 20 grader, er planeten vanskelig å observere, og hvis det er mindre enn ca 10 grader er det vanligvis ikke mulig å observere planeten. Å beregne fase vinkel og forlengelse vi trenger å vite planetens heliosentrisk avstand, r, dens geosentriske avstand, R, og avstanden til Solen, s. Nå kan vi beregne fase vinkel, FV, og forlengelsen, elong: elong = Acos ((s * s + R * R - r * r) / (2 * s * R)) FV = Acos ((R * R + R * R - s * r) / (2 * R * R)) Når vi vet fase vinkel, kan vi lett beregne fase: fase = (1 + cos (FV)) / 2 = hav (180_deg - FV) HAV er "haversine" funksjon. Den "haversine" (eller "halv versine") er en gammel og nå foreldet trigonometriske funksjon. Det er definert som: HAV (x) = (1 - cos (x)) / 2 = sin ^ 2 (X / 2) Som vanlig må vi bruke en annen fremgangsmåte for månen. Siden månen er så nær jorden, ville prosedyren ovenfor innføre for store feil. I stedet bruker vi månens ekliptikken lengde-og breddegrad, MLON og mlat, og Suns ekliptikken lengdegrad, MLON å beregne første forlengelsen, så fasevinkel, of the Moon: elong = Acos (cos (slon - MLON) * cos (mlat)) FV = 180_deg - elong Endelig vil vi beregne størrelsen (eller lysstyrke) av planetene. Her må vi bruke en formel som er forskjellig for hver planet. FV er den fasen vinkelen (i grader), r er heliosentrisk og R den geosentriske avstand (begge i AU): Mercury: -0,36 + 5 * log10 (r * R) + 0.027 * FV + 2.2E-13 * FV ** 6 Venus: -4,34 + 5 * log10 (r * R) + 0.013 * FV + 4.2E-7 * FV ** 3 Mars: -1,51 + 5 * log10 (r * R) + 0.016 * FV Jupiter: -9,25 + 5 * log10 (r * R) + 0.014 * FV Saturn: -9,0 + 5 * log10 (r * R) + 0.044 * FV + ring_magn Uranus: -7,15 + 5 * log10 (r * R) + 0,001 * FV Neptune: -6,90 + 5 * log10 (r * R) + 0,001 * FV Moon: 0,23 + 5 * log10 (r * R) + 0.026 * FV + 4.0E-9 * FV ** 4 ** Er kraften operatør, og dermed FV ** 6 er fasevinkelen (i grader) opphøyd i sjette strøm. Hvis FV er 150 grader da FV ** 6 blir ca 1.14E 13, som er et ganske stort antall. For månen, vi trenger også heliosentrisk avstand, r, og geosentriske avstand, R, i AU (astronomiske enheter). Her r kan settes lik solens geosentriske avstand i AU. Månens geosentriske avstand, R, tidligere beregnet i Earth radius, må konverteres til AUs - vi gjør dette ved å multiplisere med synd (17.59 "/ 2) = 1/23450 Eller vi kunne endre størrelsen formelen for månen, så den bruker. r i AUs og R i Earth radier: Moon: -21,62 + 5 * log10 (r * R) + 0.026 * FV + 4.0E-9 * FV ** 4 Saturn trenger spesiell behandling på grunn av dens ringer: Når Saturns ringer er "åpen" og deretter Saturn vil vises mye lysere enn når vi ser Saturns ringer høykant. Vi vil beregne ring_mang som dette: ring_magn = -2,6 * sin (abs (B)) + 1,2 * (sin (B)) ** 2 Her B er tilt av Saturns ringer som vi også trenger å beregne. Så vi starter med Saturns geosentrisk ekliptikken lengde-og breddegrad (los, las) som vi allerede har beregnet. Vi trenger også vinkelen ringene til ekliptikken, IR og den "stigende node" av flyet av ringene, Nr: ir = 28.06_deg Nr = 169.51_deg + 3.82E-5_deg * d Her d er vår "dag nummer" som vi har brukt så mange ganger før. Nå la oss beregne tilt of the Rings: B = Asin (sin (las) * cos (ir) - cos (las) * sin (IR) * sin (los-Nr)) Dette avslutter vår beregning av størrelsene av planetene. 16 år. Posisjoner asteroider Etter asteroider blir baneelementene ofte gitt som: N, i, w, A, E, M, hvor N, i, w er gyldig for en bestemt epoken (dag vanligvis 2000,0). I vår forenklede beregningsorientert ordning, oppstår det bare betydelige endringer med den epoken i N. For å konvertere N_Epoch til N (dagens epoken) vi ønsker å bruke, kan du legge en korreksjon for presesjon: N = N_Epoch + 0.013967 * (2000.0 - Epoch) + 3.82394E-5 * d hvor Epoch uttrykkes som et år med brøker, for eksempel 1950.0 eller 2000.0 Oftest M, gjennomsnittlig anomali, er gitt for en annen dag enn den dagen vi ønsker å beregne asteroiden posisjon for. Dersom den daglige bevegelse, n, er gitt, er å legge n * (tidsforskjellen i dager) til M. Hvis n ikke er gitt, men perioden P (i dager) er gitt, så er n = 360,0 / P. Hvis P ikke er gitt, kan det beregnes fra: P = 365.2568984 * en ** 1,5 (dager) = 1,00004024 * en ** 1,5 (år) ** Er potensen-av operatør. a ** 1.5 er det samme som sqrt (a * a * a). Når alle baneelementene er beregnet, fortsett som med de andre planetene (§ 6). 17. Plassering av kometer. For kometer har elliptiske baner, er M vanligvis ikke gitt. I stedet T, tidspunktet for perihel er gitt. På perihel M er null. Å beregne M for noen andre øyeblikk, første beregne "dag nummer" d av T (§ 3), la oss kalle denne dT. Deretter beregne "dag nummer" d for øyeblikket som du ønsker å beregne en posisjon, la oss kalle dette d. Da M, gjennomsnittlig anomali, er beregnet som: M = 360,0 * (d-dT) / P (grader) hvor P er gitt i dager, og d-dT selvfølgelig er tiden fra siste perihel også i dager. Også, a, den semi-hovedakse, er vanligvis ikke gitt. Istedenfor q, perihelion avstanden, er gitt. en kan lett beregnes fra Q og E: a = q / (1,0 - e) Fortsett som med en asteroide (§ 16). 18 år. Parabolic baner Dersom komet har en parabolsk bane, har en annen metode for å bli brukt. Da omløpstiden kometen er uendelig, og M (gjennomsnittlig anomali) er alltid null. Eksentrisitet, e, er alltid nøyaktig 1. Siden den halvt hovedakse, en, er uendelig, må vi i stedet direkte bruke perihelion avstand, q. Å beregne en parabolsk bane, fortsetter vi som dette: Beregn "dag nummer", d, for T, øyeblikket av perihel kaller dette dT. Beregn d for øyeblikket vi ønsker å beregne en posisjon, kall det d (§ 3). Konstanten k er Gaussian gravitasjonskonstanten: k = 0,01720209895 nøyaktig! Deretter beregne: H = (d-dT) * (K / sqrt (2)) / q ** 1,5 hvor q ** 1.5 er det samme som sqrt (q * q * q). Også beregne: h = 1,5 * H g = sqrt (1.0 + h * h) s = cbrt (g + h) - cbrt (g - h) cbrt () er kubikkroten funksjon: cbrt (x) = x ** (1.0/3.0). Formlene er utarbeidet slik at både G+ H og gh alltid er positive. Derfor kan man her trygt beregne cbrt (x) som exp (log (x) / 3,0). Generelt, cbrt (-x) =-cbrt (x) og selvfølgelig cbrt (0) = 0. I stedet for å prøve å beregne litt eksentrisk anomali, beregner vi den sanne anomali og heliosentrisk avstand direkte: v = 2,0 * ARCTAN (r) r = q * (1,0 + s * s) Når vi kjenner den sanne anomali og heliosentrisk avstand, kan vi gå i gang med å beregne posisjon i rommet (§ 7). 19. Nær-parabolske baner. Den vanligste tilfelle for en nylig oppdaget kometen er at banen ikke er en eksakt parabel, men nesten så. Det er eksentrisiteten er litt under eller litt over, en. Algoritmen presenteres her kan brukes for eksentriske mellom ca 0,98 og 1,02. Hvis eksentrisiteten er mindre enn 0,98 den elliptiske algoritmen (Keplers likning / etc) skal brukes i stedet. Ingen kjente kometen har en eksentrisitet over 1,02. Som for rent parabolske bane, begynner vi ved å beregne tiden siden perihel i dager, d-dT, og perihelion avstand, q. Vi trenger også å vite eksentrisitet, e. Konstanten k er Gaussian gravitasjonskonstanten: k = 0,01720209895 nøyaktig! Da kan vi fortsette som: a = 0,75 * (d-dT) * k * sqrt ((1 + e) / (q * q * q)) b = sqrt (1 + a * a) W = cbrt (b + a) - cbrt (b - a) f = (1 - e) / (1 + e) a1 = (2/3) + (2/5) * W * W a2 = (7/5) + (33/35) * W * W + (37/175) * W ** 4 a3 = W * W * ((432/175) + (956/1125) * W * W + (84/1575) * W ** 4) C = W * W / (1 + V * W) g = f * C * C w = W * (1 + f * C * (a1 + a2 * g + a3 * g * g)) v = 2 * atan (w) r = q * (1 + w * w) / (1 + w * w * f) Denne algoritmen gir den sanne anomali, v, og den heliosentriske avstand, r, til en nesten-parabolske bane. Vær oppmerksom på at denne algoritmen vil mislykkes veldig langt fra perihelion, men nøyaktigheten er tilstrekkelig for alle kometer nærmere enn Pluto. 20. Rise og sett ganger. (Dette faget har mottatt et dokument av sin egen) 21. Gyldigheten av baneelementene. På grunn av forstyrrelser fra hovedsakelig den gigantiske planeter, som Jupiter og Saturn, er de baneelementene av himmellegemer i stadig endring. Baneelementene for solen, månen og de store planetene, som her, er gyldige for en lang tidsperiode. Men orbital elementer i seg som er gitt for en komet eller en asteroide er gyldig kun for en begrenset periode. Hvor lenge de er gyldige er vanskelig å si generelt. Det avhenger av mange faktorer, for eksempel nøyaktigheten du trenger, og omfanget av forstyrrelsene kometen eller asteroiden er utsatt for fra, sier Jupiter. En komet kan reise i omtrent de samme bane flere omløpstider, opplever bare små forstyrrelser, men plutselig kan det passere svært nær Jupiter og få sin bane endret seg drastisk. Å beregne dette på en pålitelig måte er ganske komplisert og helt ut av rammen for denne beskrivelsen. Som en tommelfingerregel, men kan man anta at en asteroid, vil hvis man bruker baneelementer for en bestemt epoke, en eller noen få omdreininger bort fra det øyeblikket har en feil i sin beregnede posisjon på minst ett eller noen få bueminutter, og muligens flere. Feilene vil akkumuleres med tiden.   Oversatt s http://stjarnhimlen.se/comp/ppcomp.html Hjemmeside
Globe Views

Copyright™ 2014: «QRATOR Creative Technologies»